Теорема гёделя о неполноте

Теоремы о неполноте Геделя: Дырка в математике

— Можно как-то популярно объяснить теоремы о неполноте Геделя? Брадобрей бреет только тех, кто не бреется сам. Бреет ли себя брадобрей? Этот знаменитый парадокс имеет к ним отношение?

Главный тезис логического доказательства существования Бога, выдвинутый Куртом Геделем: «Бог существует в мышлении. Но существование в реальности больше, нежели существование только в мысли. Следовательно, Бог должен существовать». На фото: автор теоремы о неполноте Курт Гедель со своим другом, автором теории относительности Альбертом Эйнштейном. Пристон. Америка. 1950

— Да, конечно, имеет. До Геделя существовала проблема аксиоматизации математики и проблема таких парадоксальных предложений, которые формально можно записать на любом языке. Например: «Это утверждение ложно». Какова истинность этого утверждения? Если оно истинно, значит, оно ложно, если оно ложно, значит, истинно; получается языковой парадокс. Гедель исследовал арифметику и показал в своих теоремах, что ее непротиворечивость не может быть доказана, исходя из ее самоочевидных принципов: аксиом сложения, вычитания, деления, умножения и проч. Нам требуются для ее обоснования некоторые дополнительные допущения. Это на самой простейшей теории, а что говорить о более сложных (уравнениях физики и т. п.)! Всегда для обоснования какой-то системы умозаключений мы вынуждены прибегать к некоему дополнительному умозаключению, которое в рамках системы не обосновывается.

Прежде всего это указывает на ограниченность претензий человеческого разума в познании реальности. То есть мы не можем говорить о том, что мы построим какую-то всеобъемлющую теорию мироздания, которая все объяснит, — такая теория не может быть научной.

— Как математики сейчас относится к теоремам Геделя? Никто не пытается их опровергнуть, как-то обойти?

— Это все равно что пытаться опровергнуть теорему Пифагора. Теоремы имеют строгое логическое доказательство. В то же время предпринимаются попытки найти ограничения применимости теорем Геделя. Но главным образом споры идут вокруг философских следствий теорем Геделя.

— Насколько проработано геделево доказательство существования Бога? Оно закончено?

— Оно проработано детально, хотя сам ученый до самой своей смерти так и не решился его опубликовать. Гедель развивает онтологический (метафизический. — «НС») аргумент, впервые предложенный Ансельмом Кентерберийским. В сжатой форме этот аргумент можно представить следующим образом: «Бог, по определению, является Тем, больше Кого нельзя ничего помыслить. Бог существует в мышлении. Но существование в реальности больше, нежели существование только в мысли. Следовательно, Бог должен существовать». Аргументацию Ансельма позднее развивали Рене Декарт и Готфрид Вильгельм Лейбниц. Так, по мнению Декарта, мыслить Высшее Совершенное Бытие, которому недостает существования, означает впадать в логическое противоречие. В контексте этих идей Гедель разрабатывает свою версию доказательства, она умещается буквально на двух страничках. К сожалению, изложение его аргументации невозможно без введения в основы очень сложной модальной логики.

Разумеется, логическая безупречность выводов Геделя не принуждает человека становиться верующим под давлением силы доказательств. Не следует быть наивными и полагать, что мы можем убедить любого разумно мыслящего человека уверовать в Бога с помощью онтологического аргумента или других доказательств. Вера рождается тогда, когда человек становится лицом к лицу перед очевидным присутствием высшей трансцендентной Реальности Бога. Но можно назвать по крайней мере одного человека, которого онтологическое доказательство привело к религиозной вере, — это писатель Клайв Стейплз Льюис, он сам признавался в этом.

Отдаленное будущее — это отдаленное прошлое

— Как относились к Геделю современники? Он дружил с кем-то из больших ученых?

— Ассистент Эйнштейна в Принстоне свидетельствует, что единственным человеком, с которым тот дружил в последние годы жизни, был Курт Гедель. Они были различны почти во всем — Эйнштейн общительный, веселый, а Гедель предельно серьезный, совершенно одинокий и недоверчивый. Но они имели общее качество: оба шли прямо и искренне к центральным вопросам науки и философии. Несмотря на дружбу с Эйнштейном, Гедель имел свой специфический взгляд на религию. Он отвергал представление о Боге как безличном существе, каким был Бог для Эйнштейна. По этому поводу Гедель заметил: «Религия Эйнштейна является слишком абстрактной, как у Спинозы и в индийской философии. Бог Спинозы меньше, чем личность; мой Бог больше чем личность; поскольку Бог может играть роль личности». Могут существовать духи, которые не имеют тела, но могут общаться с нами и оказывать влияние на мир».

— Как Гедель оказался в Америке? Бежал от нацистов?

— Да, он приехал в Америку в 1940 году из Германии, несмотря на то что фашисты признали его арийцем и великим ученым, освободив от военной службы. Он с женой Аделе пробирался через Россию по Транссибирской магистрали . Воспоминаний об этом путешествии он не оставил. Аделе вспоминает только о постоянном страхе по ночам, что остановят и вернут обратно. После восьми лет проживания в Америке Гедель стал гражданином США. Как и все подающие на гражданство, он должен был ответить на вопросы, касающиеся американской Конституции. Будучи скрупулезным человеком, он готовился к этому экзамену очень тщательно. Наконец сообщил, что нашел непоследовательность в Конституции: «Я открыл логически законную возможность, при которой США может стать диктатурой». Его друзья признали, что, независимо от логических достоинств аргумента Геделя, эта возможность была чисто гипотетической по своему характеру, и предостерегли от пространных разговоров на эту тему на экзамене.

— Не использовали ли Гедель и Эйнштейн идей друг друга в научной работе?

— В 1949 году Гедель выразил свои космологические идеи в математическом эссе, которое, по мнению Альберта Эйнштейна, являлось важным вкладом в общую теорию относительности . Гедель считал, что время — «эта таинственная и одновременно самопротиворечивая сущность, которая формирует основу мира и нашего собственного существования», — в конце концов станет величайшей иллюзией. Оно «когда-то» перестанет существовать, и наступит иная форма бытия, которую можно назвать вечностью. Такое представление о времени привело великого логика к неожиданному выводу. Он писал: «Я убежден в посмертном существовании, независимо от теологии. Если мир является разумно сконструированным, тогда должно быть посмертное существование».

— «Время – самопротиворечивая сущность». Странно звучит; это имеет какой-то физический смысл?

— Гедель показал, что в рамках уравнения Эйнштейна можно построить космологическую модель с замкнутым временем, где удаленное прошлое и удаленное будущее совпадают. В этой модели становится теоретически возможным путешествие во времени. Это звучит странно, но это математически выразимо — вот в чем дело. Эта модель может иметь экспериментальные следствия, а может и не иметь. Она является теоретической конструкцией, которая может оказаться полезной при построении новых космологических моделей — а может оказаться излишней. Современная теоретическая физика, в частности квантовая космология, обладает столь сложной математической структурой, что этим структурам очень сложно дать однозначное философское осмысление. Более того, некоторые ее теоретические конструкции пока являются экспериментально непроверяемыми по той простой причине, что для своей проверки требуют обнаружения очень высокоэнергетичных частиц. Помните, как народ переполошился по поводу запуска Большого андронного коллайдера: средства массовой информации постоянно пугали людей приближением конца света. На самом деле, ставился серьезный научный эксперимент по проверке моделей квантовой космологии и так называемых «теорий великого объединения». Если бы удалось обнаружить так называемые частицы Хиггса, то это стало бы очередным шагом в нашем понимании самых ранних стадий существования нашей Вселенной. Но пока нет экспериментальных данных, конкурирующие модели квантовой космологии продолжают оставаться просто математическими моделями.